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给一棵树，在树中选择k个节点，要求输出最小任意两点距离和。这个问题可以通过树形动态规划来解决。以下是详细的分析和解答：

问题分析

我们需要在树中选择k个节点，使得这k个节点之间任意两点的距离和最小。树的结构使得任意两点之间的路径是唯一的，因此可以通过动态规划来有效地解决这个问题。

动态规划状态定义

设f[u][i]表示以u为根的子树中选择i个节点的贡献。通过动态规划，我们可以将问题分解为子树的问题，逐步构建最优解。

转移方程

转移方程为： [ f[u][i+j] = \min(f[u][i+j], f[u][i] + f[v][j] + e[i] \cdot w \cdot j \cdot (k - j)) ] 其中：

• f[u][i+j]表示以u为根的子树中选择i+j个节点的贡献。
• f[u][i]和f[v][j]分别表示u和v子树中选择i和j个节点的贡献。
• (e[i] \cdot w \cdot j \cdot (k - j))是一个权重项，用于计算选择不同子树节点的最优方式。

倒序转移的处理

由于转移方程中f[u][i+j]依赖于f[u][i]，这使得正向转移无法直接应用。因此，我们需要倒序处理，将问题从叶子节点开始，逐步向上处理。

实现步骤

代码优化

• 递归深度：避免递归深度过深导致栈溢出，改用迭代式DFS或记忆化技术。
• 边界条件：确保叶子节点和边界情况的正确处理。
• 避免重复计算：优化访问路径，减少不必要的计算。

验证与测试

通过多个案例验证代码的正确性，确保在不同树结构和k值下都能得到正确结果。

结论

通过树形动态规划，我们可以高效地解决在树中选择k个节点使得任意两点距离和最小的问题。代码实现了倒序转移和权重项计算，确保了最优解的正确性。

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